Das unendliche, unendlich urste Quiz

[LordXerxes]

Öhm hast du die Aufgabe damit nicht selbst gelöst?

In einem Satz:
Da man mit Hilfe einer Funktion (z.B. f(x)=5x) jeder Zahl beider Mengen eine eindeutige, umkehrbare Zuordnung zuteilen kann. Und in dem Fall x eine unendlich große Menge ist, ergibt sich für beide Mengen immer die gleiche Anzahl an Zahlen.

Siehe Grafik:
Ansehen ?

[rv]

Ja, habe ich Ansehen ?
Ich wollte damit testen, ob die Matheverdrossenheit der anderen schon so hoch ist, dass sie sogar eine Komplettlösung ignorieren. Jetzt hast du ziemlich früh geantwortet, dh ich konnte meine Hypothese nicht testen ^^

Ich geb dir mal keinen Punkt (auch wenn du die Lösung gut beschrieben hast) aber du kannst die nächste Frage stellen, passt das? Ansehen ?

[LordXerxes]

Ich glaube nicht dass die anderen dir vernünftig geantwortet hätten Ansehen ?

Aber ist ok, ich stell einfach die nächste Frage: Was passiert mit einem Engel, wenn er in einen Misthaufen fällt?

[rv]

Er bekommt Kotflügel

[LordXerxes]

Richtig Ansehen ?

168,5 Punkte robert234
102 Punkte -fabian-
84,1 Punkte LordXerxes
74 Punkte szhantel
70 Punkte rv
65 Punkte pong
57 Punkte Thorjin
56 Punkte Brisko
35 Punkte Luka88
34 Punkte Sandro
22 Punkte Guerkchen
23 Punkte SuperVegeta
19 Punkte maloross
11 Punkte Mokway
11 Punkte Nicole.K
7 Punkte Arnie2k9
7 Punkte der_pumper
6 Punkte Bl4ckst0rm
5 Punkte bloemma
4 Punkte Supersayayin
4 Punkte Barbara
4 Punkte derbifan99
2 Punkte Crixus
2 Punkte Schmali
2 Punkte Däh
2 Punkte Polipol
1 Punkt BodyPimp
1 Punkt HeaDoOr
1 Punkt Thekk
1 Punkte _Obi

[rv]

Wir haben vorhin gesehen, dass das Intervall [0,1] gleichmächtig wie [0,5] ist. Mit einer geeigneten umkehrbar eindeutigen Zuordnungsvorschrift f(x) kann man auch zeigen, dass [0,1] gleichmächtig zur Menge aller reellen Zahlen, also dem Intervall (-unendlich, unendlich), ist. Das geht z.B. mit f(x)=arctan(x).

Nun sind die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... auch unendlich groß, aber nicht gleichmächtig zu [0,1]. Die reellen Zahlen von 0 bis 1 enthalten also mehr Zahlen als die natürlichen.
Das kann man wie folgt zeigen, und ihr müsst nur das letzte Argument (quasi die Pointe) bringen:

Angenommen, es gäbe eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen den natürlichen Zahlen und Zahlen aus [0,1]. Die sähe ganz allgemein so aus:

1 <--> 0, x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x110 ...
2 <--> 0, x21 x22 x23 x24 x25 ...
3 <--> 0, x31 x32 x33 x34 x35 ...
...

wobei die xij (der Index j läuft dabei für jedes i von 1 bis unendlich) einfach nur symbolisch die Nachkommastellen wiedergeben, alle xij sind also aus der Menge {0,1,2,...,8,9}. Z.B. könnte die Zuordnung 1 <--> 0,85220936... oder 1 <--> 0,33333... oder so sein.

Ich behaupte nun, dass es eine Zahl aus [0,1] gibt, die nicht in der Liste steht. Folglich ist [0,1] mächtiger als die natürlichen Zahlen.

Tipp: So eine Zahl erhält man, indem man die Liste diagonal entlang geht, sich x11, x22, x33, ... (fett gedruckt) hernimmt und abändert zu x11', x22', x33' und damit eine neue Zahl 0, x11' x22' x33' ... bildet. Diese Zahl steht nicht in der Liste -- bitte begründet dies Ansehen ?

[rv]

Tipp: Die Zahl 0, x11' x22' x33' ... ist nicht die Zahl, die der 1 zugeordnet ist. Es ist auch nicht die Zahl, die der 2 zugeordnet ist. Etc. Warum?

[rv]

Ich entferne mal die Sprachbarriere mit den indizierten Variablen und mache ein konkretes Beispiel. Man hat bspw. die folgende Zuordnung der Menge der natürlichen Zahlen und des Intervalls [0,1]:

1 <--> 0,5432345004...
2 <--> 0,6489042039487
3 <--> 0,400
4 <--> 0,11111111
...

Wir nehmen jetzt die erste/zweite/... Nachkommastelle der ersten/zweiten/... Zahl und bilden daraus eine neue Zahl, wobei wir die Stellen so ändern, dass wir bspw. immer 1 hinzuaddieren.
Also: ausgehend von 0,5401... bilden wir 0,6512... (immer eins hinzuaddiert und wenn da eine 9 wäre, machen wir daraus eine 0).

Diese neue Zahl ist aus [0,1] aber steht nicht in der Liste, warum?

[rv]

Also einen hau ich noch raus: Der Nutzen des Diagonalverfahrens offenbart sich in folgendem (möglichen) Szenario:

1 <--> 0,5432345000...
2 <--> 0,5432345001...
3 <--> 0,5432345002...
4 <--> 0,5432345003...
5 <--> 0,3333333333...
...

Würde ich die i-te Nachkommastelle der der Zahl i zugeordneten Zahl aus [0,1] nehmen und daraus eine Zahl bilden,

also 0,54323...,

könnte es sein, dass diese Zahl doch in der Liste auftaucht (sieht man ja).

Ändert man die Zahl aber ab zu eben

0,65434... (plus 1 bei jeder Stelle),

so steht die Zahl definitiv nicht in der Liste -- warum? (es ist wirklich extrem offensichtlich, bitte mal die Mathephobie kurz beiseiteschieben Ansehen ? )

[LordXerxes]

Keine Ahnung, wenn die Zuorndung quasi jeder unendlichen Zahl zutrifft, wieso sollte sie dann nicht auch bei 0,65434 zutreffen???

[rv]

Stimmt 0,65434… z.B. mit der ersten Zahl überein? Nee, denn eine Stelle wurde ja abgeändert. Die „…“ bestehen alle aus abgeänderten Stellen der Zahlen aus der Liste, und zwar der der 6,7,8,… zugeordneten Zahlen, ohne Auslassungen.

Die offensichtliche Aussage „0,65434… stimmt nicht mit der ersten Zahl überein aufgrund der einen abgeänderten Nachkommastelle“ ist also nicht spezifisch für die erste Zahl, sondern gilt analog für alle Zahlen der Liste.

[LordXerxes]

aber wenn 1 <--> 0,xxxxxxxxxxxxx ist, wobei x jede beliebige zahl zwischen 0 und 9 sein kann, dann kann sie doch auch genau 0,65434 sein, egal wo ich welche Stelle geändert habe

[rv]

Ah siehste, da sind wir bei der symbolischen Schreibweise angelangt, um eben alle Möglichkeiten zu berücksichtigen Ansehen ?
Die 0,6… war doch bloß ein Beispiel, für das Beispiel 1<—>0,5…

Wenn 1<—> 0,xyz… ist, so bilde ich die neue Zahl als 0,(x+1)… und damit unterscheiden sich beide Zahlen in Stelle 1, und damit insgesamt, egal wie das „…“ aussieht.

Für 2 <—> 0,ab… lautet die konstruierte Zahl also 0,(x+1) (b+1)… und ist also auch anders, da die zweite Stelle anders ist. Und so füllt man die „…“ weiter auf.

[LordXerxes]

Ich glaube ich checke so langsam worauf du hinaus willst, aber das Problem besteht denke ich darin, dass ich (und ich vermute mal die anderen auch) die Vergleichsrechnung schon nicht vollends kapiere

Angenommen, es gäbe eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen den natürlichen Zahlen und Zahlen aus [0,1]. Die sähe ganz allgemein so aus:

1 <--> 0, x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x110 ...
2 <--> 0, x21 x22 x23 x24 x25 ...
3 <--> 0, x31 x32 x33 x34 x35 ...

Und aus etwas, das man nicht wirklich kapiert, logische Ableitungen zu führen ist unmöglich. Selbst wenn ich jetzt deine hundert Tipps nehme und zufällig das richtig ausformuliere, hab ich es trotzdem nicht wirklich verstanden^^

Ich erbitte demütigst um eine trivialere Frage...

[rv]

Meine hundert Tipps beinhalten alle das Gleiche, nämlich fast die Lösung: Die konstruierte Zahl unterscheidet sich für alle natürlichen Zahlen i von der der i zugeordneten Zahl in der i-ten Nachkommastelle, steht also nicht in der Liste Ansehen ? Wenn noch jemand Interesse hat, kann ich gerne bei Fragen zur Lösung weiterhelfen.

Neue Frage:

Die wichtigste Funktion der Welt, nämlich die des exponentiellen Wachstums, besitzt folgende Reihenentwicklung:

e^x= x^1/1 + x^2/(1*2) + x^3/(1*2*3) + x^4/(1*2*3*4) +…

Dabei ist e die Eulersche Zahl und x der Exponent.

Wie viel ist nun 1+1/2+1/6+1/24+…?

Tipp: Für x etwas passendes einsetzen.